9 จำนวนจริง ตอนที่6_เทคนิคการแก้อสมการ

1. 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง (เนื้อหาตอนที่ 6) เทคนิคการแก้อสมการ โดย ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
2. 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง จานวนจริง2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง - ระบบจานวนจริง - สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ - การแยกตัวประกอบ4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ - ทฤษฎีบทเศษเหลือ - ทฤษฎีบทตัวประกอบ5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม - สมการพหุนามดีกรีหนึ่ง - สมการพหุนามดีกรีสอง - สมการพหุนามดีกรีสูง - การประยุกต์สมการพหุนาม6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ - เส้นจานวนและช่วง - อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีหนึ่ง - อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีสูง7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ - อสมการในรูปเศษส่วน - การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง - การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร - การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์ - ค่าสัมบูรณ์ - สมการค่าสัมบูรณ์ 1
3. 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ - อสมการค่าสัมบูรณ์ - โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์ - กราฟค่าสัมบูรณ์11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์ คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 2
4. 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง จานวนจริง (อสมการ)หมวด เนื้อหาตอนที่ 6 (6/9)หัวข้อย่อย 1. อสมการในรูปเศษส่วน 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการจุดประสงค์การเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียน 1. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการที่อยู่ในรูป เศษส่วน 2. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการ โดยเทคนิคการ ยกกาลังสอง 3. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการโดยเทคนิคการ แทนค่าตัวแปร 4. เข้าใจความเกี่ยวข้องของอสมการกับปัญหาในชีวิตประจาวัน และแก้ปัญหานั้นได้ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการในรูปเศษส่วนได้ 2. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสองได้ 3. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการโดยวิธีการแทนค่าตัวแปรได้ 4. อธิบายและยกตัวการประยุกต์การแก้อสมการในชีวิตประจาวันได้ 5. นาความรู้เรื่องสมบัติของจานวนจริง และเงื่อนไข มาใช้ในการแก้อสมการและ ตรวจสอบคาตอบ ทั้งเงื่อนไขของตัวส่วน และจานวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง 3
5. 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 4
6. 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. อสมการในรูปเศษส่วน 5
7. 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1.อสมการในรูปเศษส่วน ในสื่อตอนที่แล้วเราจะได้ศึกษาการแก้อสมการพื้นฐานไปแล้ว ในตอนนี้เราจะได้ศึกษาเทคนิคการแก้อสมการเพิ่มขึ้น โดยเทคนิคการแก้อสมการที่จะศึกษาในสื่อตอนนีคือการแก้อสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วน อสมการ ้ที่ต้องยกกาลังสอง และการแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม x 1ตัวอย่าง จงแก้อสมการ 1  x  3 x3 6
8. 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 1วิธีทา จาก 1 x3 นา  x  32 คูณตลอด จะได้ว่า  x  1 x  3   x  3 2  x  3   x  1 x  3  0 2  x  3  x  3   x  1  0    x  3 4   0 x 3 0 x3 x 1 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการ  1 คือ x  3 # x3 x 1 x  2ตัวอย่าง จงแก้อสมการ   x  3 x3 x3 x 1 x  2วิธีทา  0 x3 x3  x  1 x  3   x  2  x  3  0  x  3 x  3 x 2  4 x  3   x 2  5 x  6  0  x  3 x  3 9x  3 0  x  3 x  3 3x  1 0  x  3 x  3  3x  1 x  3 x  3  0  0 + 0  0 + 3 1 3 3 1 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการคือ x  3 หรือ  x3 # 3 7
9. 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 2  x  3ตัวอย่าง จงแก้อสมการ  0  x  4  x4วิธีทา ข้อสังเกต x  0 เนื่องจากเมื่อแทนค่า x  0 ลงในอสมการแล้ว อสมการไม่เป็นจริง เมื่อ x0 ดังนั้นx 2  0 ทาให้เราสามารถนา x 2 หารตลอดอสมการได้ อสมการใหม่ที่ได้คือ x 3 0 x4  x  3 x  4   0 4  x  3 แต่ x0 ดังนั้นคาตอบของอสมการนี้โจทย์กาหนดคือ 4  x  0 หรือ 0  x  3 # จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่าการแก้อสมการเป็นเรื่องที่ต้องมีความระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง 8
10. 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการในรูปเศษส่วนจงแก้อสมการต่อไปนี้ 3 x x 1 1. 0 2. 4 x 1 x3 2  x2 2 x 3. 0 4. 0 x2 x2 5. x4  3  2x 6.  x  1 x  2  0 x x3 7.  x  1 x  2  0 8. x2  5 3 x 3 x 2 x4 9.  4x 10. 2 x5 x  3x  4 2 x 1 1 1 11. 1 12.   x  2 x  3 x2 x4 x 2 1 x 1 13.  14.  x 1 x  2 x3 x7 9
11. 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง 10
12. 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาเทคนิคการแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสองตัวอย่าง จงแก้อสมการ x 2  3x  2  x 2  2 x  3วิธีทา เนื่องจาก x 2  2 x  3  0 และ x 2  3x  2  x 2  2 x  3 ดังนั้น x 2  3x  2  0 นั่นคือ  x  2 x  1  0 และ  x  3 x  1  0 x  2 หรือ x  1 ..... 1 และ x  1 หรือ x  3 ..........  2  2 1 3 11
13. 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับ 1 และ  2 คือ x  2 หรือ x  3 ..........  3 จาก x2  3x  2  x2  2 x  3 และ  0 จะได้ว่า x 2  3x  2  x 2  2 x  3 5x  5 x  1 ........... 4 เนื่องจาก x ต้องสอดคล้องทั้ง  3 และ  4 จึงได้ว่า x3 #ในบางครั้ง โจทย์อสมการมีเครื่องหมาย อาจไม่จาเป็นต้องยกกาลังสองเสมอไป ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x 1  2 x 1วิธีทา ข้อสังเกต พิจารณาค่า x ซึ่ง x 1  0 เท่านั้น ดังนั้น x  1 1 จาก x 1  2 x 1 นา x 1 คูณตลอด จะได้ว่า  x  1  1  2 x 1  x  1  2 x 1 1  0   2 x 1 1  0 เนื่องจาก   มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ 2 x  1 1 ดังนั้นทุกค่า x  x  1 จะสอดคล้องกับอสมการ  x  1  1 เสมอ 2 0 เพราะฉะนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการคือ x  1 # 12
14. 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง1. x 1  x 1 2. x2  2 x  1  13. x  2  3x  6 4. x 1  x 1 15. x2  x2 5 6.  x2 x2 27. 2x  3  x  2 8.  x 1 x 1 19. x2  8x  7  x2  8x  12 10.  x 1 2 1  x  2x2 13
15. 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร 14
16. 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเทคนิคการแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปรตัวอย่าง จงแก้อสมการ 5  x  22   2 x  3  5 x  1  2 1วิธีทา ให้ y   x  1 5 จากตัวอย่างที่ผ่านมาจะได้ว่า y2  y  2 y2  y  2  0  y  2  y  1  0 1  y  2 1 นั่นคือ 1   x  1 5  2 1 1 และ  x  15  2 1   x  1 5 1  x  1 และ x  1  25 2  x และ x  31 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการที่โจทย์กาหนดคือ x   2,31 #ตัวอย่าง จงแก้อสมการ  x  12  3  2 x 1  3  2 x2วิธีทา เพราะว่า  x  12  3  2 x  1  x 2  4 x  4   x  2 2 ดังนั้น  x  1  3  2 x  1  3  2 x  2 2 15
17. 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย  x  2  2 x 2 3 0 2ให้ y x  2 จะได้ว่า y2  2 y  3  0  y  3 y  1  0 1  y  3นั่นคือ 1  x2 3แต่ x  2  0 เสมอ ดังนัน ้ 0 x2 3 0 x2 9 2 x  11 ..........(1)แต่ x2 0 นั่นคือ x  2 ..........(2)จาก 1 และ  2 จะได้ว่า 2  x  11 # 16
18. 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่าง จงแก้อสมการ 22 x 2  9  2  x  2วิธีทา 22 x 2  9  2   2 x 4  2x   9  2  2  0 2 x ให้ y  2x ดังนั้น 4 y2  9 y  2  0  4 y  1 y  2   0 1  y2 4 1 นั่นคือ  2x  2 4 22  2 x  21 2  x  1 # แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปรจงแก้อสมการ 4 1. 2x  5  2x 2. x2  4 x  4  2  x  2 3. 5 x2  4 x  4  6  5 x  2 4. 32 x 1  3  10  3x  5.  x  3  4  x  4  x  5  2 2 17
19. 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ 18
20. 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ1. ต้องการเชิญแขกมางานเลี้ยง ไม่น้อยกว่า 500 แต่ไม่เกิน 700 คน โดยจัดเลี้ยงโต๊ะจีน โต๊ะละ 10 คน ต้อง จองโต๊ะน้อยที่สุดกี่ชุดถึงสามารถมั่นใจได้ว่าแขกทุกคนมีที่นั่ง2. สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านยาว 20 เซนติเมตร และมีพื้นที่ไม่น้อยกว่า 400 ตารางเซนติเมตร แล้วสี่เหลี่ยมมีความ กว้างน้อยที่สุดกี่เซนติเมตร 19
21. 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 20
22. 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 21
23. 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 22
24. 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน 2 41. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจานวนจริง แล้วเซตคาตอบของอสมการ  3  1 คือข้อใด x x 1 1. [  , 0) 2. (0,  ) 2 1 3. ( ,  ]   0,   4.  ,3   2,   2 12. เซตคาตอบของอสมการ 2 คือเซตในข้อใด 2 x 1 1 1. ( ,  ] 2. [  , 2) 3 3 3. (,  1 ]   2,   4. ข้อ 1, 2 และ 3 ไม่มีข้อใดถูก 33. ให้ A   x | x  5  0   และ B   x | 2 x 2  10 x  5 x  27 พิจารณาข้อความต่อไปนี้  x  7 ก. A  B   0,   ข. A  B  (, )   4,   2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด  2x 1 4. ให้ เป็นเซตของจานวนจริง และถ้า A  x  |  0  x  และ B   x  | 2 x 2  5 x  3  0 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. A  B   ,   2. A  B  3,0 1 3. A B  4. A  B  { } 2 x 15. เซตคาตอบของอสมการ  3 x คือข้อใดต่อไปนี้ x 1.  0,3 2. 0,3 3.  0,   4.  ,0  1,   x26. เซตคาตอบของอสมการ  x เป็นสับเซตของเซตใดต่อไปนี้ x 1 1.  , 2 2.  10, 1 3.  2,1 4. 1, 7. ถ้า A คือเซตคาตอบของอสมการ 3x  5  x  7 1 1 B คือเซตคาตอบของอสมการ  x 2 23
25. 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แล้ว A  B เท่ากับช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 1.  6,0 2. (2,  ) 3.  ,0   2,   4.  6,0   2,   2 2x 18. ให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ  แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง x2 4 5  137 5  137 ก. ( 7 , )  A ข. A  ( , ) 4 4 4 1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด9. ให้ A   x | 22 x  2 x 1  23  0 และ  B  x | 2x  2  x  2  1  ข้อใดถูกต้อง 1. A  B 2. B A 3. A  B   4. A B   2 110. ให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ  ข้อใดต่อไปนี้ถูก x2 x 1 1. A  2. A   2,10 3. A   1, 2    2,   4. A   2,   24
26. 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 25
27. 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการในรูปเศษส่วน 111. 1  x  3 2.   x  3 33. x  2 หรือ  2  x  2 4. x   25. x  2 หรือ 0  x  1 6. x  3 หรือ 2  x  17. 1  x  2 หรือ x  3 8. x0 5  27 5  27 19.  x  5 หรือ x 10. x หรือ x  1 2 2 211. x  3 หรือ x  2 12. x  4 หรือ x  213. 2  x   2 หรือ 1  x  2 14. 7  x  4 หรือ 3  x  1 เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสอง1. 1  x  2 2. 2  x  03. x  4 4. x  05. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ 6. 2  x  17. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ 8. 0  x  19. x  1 หรือ x  7 10. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร1. x0 หรือ x2 2. x33. 241  x  34 4. 1  x  15. 5 x9 26
28. 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ1. อย่างมาก 70 ชุด 2. อย่างน้อย 20 ซ.ม. เฉลยแบบฝึกหัดระคน1. 3 2. 4 3. 4 4. 1 5. 36. 3 7. 4 8. 2 9. 1 10. 4 27
29. 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 28
30. 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อยความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 29
31. 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 30
32. 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 31

9 จำนวนจริง ตอนที่6เทคนิคการแก้อสมการ

1. 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง (เนื้อหาตอนที่ 6) เทคนิคการแก้อสมการ โดย ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
2. 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง สื่อการสอน เรื่อง จานวนจริง มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 17 ตอน ซึ่งประกอบด้วย1. บทนา เรื่อง จานวนจริง2. เนื้อหาตอนที่ 1 สมบัติของจานวนจริง - ระบบจานวนจริง - สมบัติพื้นฐานของระบบจานวนจริง3. เนื้อหาตอนที่ 2 การแยกตัวประกอบ - การแยกตัวประกอบ4. เนื้อหาตอนที่ 3 ทฤษฎีบทตัวประกอบ - ทฤษฎีบทเศษเหลือ - ทฤษฎีบทตัวประกอบ5. เนื้อหาตอนที่ 4 สมการพหุนาม - สมการพหุนามดีกรีหนึ่ง - สมการพหุนามดีกรีสอง - สมการพหุนามดีกรีสูง - การประยุกต์สมการพหุนาม6. เนื้อหาตอนที่ 5 อสมการ - เส้นจานวนและช่วง - อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีหนึ่ง - อสมการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามดีกรีสูง7. เนื้อหาตอนที่ 6 เทคนิคการแก้อสมการ - อสมการในรูปเศษส่วน - การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง - การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร - การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ8. เนื้อหาตอนที่ 7 ค่าสัมบูรณ์ - ค่าสัมบูรณ์ - สมการค่าสัมบูรณ์ 1
3. 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. เนื้อหาตอนที่ 8 การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ - อสมการค่าสัมบูรณ์ - โจทย์ประยุกต์อสมการค่าสัมบูรณ์10. เนื้อหาตอนที่ 9 กราฟค่าสัมบูรณ์ - กราฟค่าสัมบูรณ์11. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)12. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)13. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 3)14. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ช่วงบนเส้นจานวน16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง สมการและอสมการพหุนาม (กาลังไม่เกินสี่)17. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง กราฟค่าสัมบูรณ์ คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง จานวนจริง นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 2
4. 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยเรื่อง จานวนจริง (อสมการ)หมวด เนื้อหาตอนที่ 6 (6/9)หัวข้อย่อย 1. อสมการในรูปเศษส่วน 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการจุดประสงค์การเรียนรู้เพื่อให้ผู้เรียน 1. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการที่อยู่ในรูป เศษส่วน 2. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการ โดยเทคนิคการ ยกกาลังสอง 3. เข้าใจขั้นตอนวิธีการหาคาตอบ และดาเนินการหาคาตอบของอสมการโดยเทคนิคการ แทนค่าตัวแปร 4. เข้าใจความเกี่ยวข้องของอสมการกับปัญหาในชีวิตประจาวัน และแก้ปัญหานั้นได้ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังผู้เรียนสามารถ 1. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการในรูปเศษส่วนได้ 2. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสองได้ 3. อธิบายวิธีการแก้และแก้อสมการโดยวิธีการแทนค่าตัวแปรได้ 4. อธิบายและยกตัวการประยุกต์การแก้อสมการในชีวิตประจาวันได้ 5. นาความรู้เรื่องสมบัติของจานวนจริง และเงื่อนไข มาใช้ในการแก้อสมการและ ตรวจสอบคาตอบ ทั้งเงื่อนไขของตัวส่วน และจานวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง 3
5. 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 4
6. 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. อสมการในรูปเศษส่วน 5
7. 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1.อสมการในรูปเศษส่วน ในสื่อตอนที่แล้วเราจะได้ศึกษาการแก้อสมการพื้นฐานไปแล้ว ในตอนนี้เราจะได้ศึกษาเทคนิคการแก้อสมการเพิ่มขึ้น โดยเทคนิคการแก้อสมการที่จะศึกษาในสื่อตอนนีคือการแก้อสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วน อสมการ ้ที่ต้องยกกาลังสอง และการแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร ผู้สอนอาจยกตัวอย่างต่อไปนี้เพิ่มเติม x 1ตัวอย่าง จงแก้อสมการ 1  x  3 x3 6
8. 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 1วิธีทา จาก 1 x3 นา  x  32 คูณตลอด จะได้ว่า  x  1 x  3   x  3 2  x  3   x  1 x  3  0 2  x  3  x  3   x  1  0    x  3 4   0 x 3 0 x3 x 1 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการ  1 คือ x  3 # x3 x 1 x  2ตัวอย่าง จงแก้อสมการ   x  3 x3 x3 x 1 x  2วิธีทา  0 x3 x3  x  1 x  3   x  2  x  3  0  x  3 x  3 x 2  4 x  3   x 2  5 x  6  0  x  3 x  3 9x  3 0  x  3 x  3 3x  1 0  x  3 x  3  3x  1 x  3 x  3  0  0 + 0  0 + 3 1 3 3 1 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการคือ x  3 หรือ  x3 # 3 7
9. 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย x 2  x  3ตัวอย่าง จงแก้อสมการ  0  x  4  x4วิธีทา ข้อสังเกต x  0 เนื่องจากเมื่อแทนค่า x  0 ลงในอสมการแล้ว อสมการไม่เป็นจริง เมื่อ x0 ดังนั้นx 2  0 ทาให้เราสามารถนา x 2 หารตลอดอสมการได้ อสมการใหม่ที่ได้คือ x 3 0 x4  x  3 x  4   0 4  x  3 แต่ x0 ดังนั้นคาตอบของอสมการนี้โจทย์กาหนดคือ 4  x  0 หรือ 0  x  3 # จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นได้ว่าการแก้อสมการเป็นเรื่องที่ต้องมีความระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง 8
10. 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการในรูปเศษส่วนจงแก้อสมการต่อไปนี้ 3 x x 1 1. 0 2. 4 x 1 x3 2  x2 2 x 3. 0 4. 0 x2 x2 5. x4  3  2x 6.  x  1 x  2  0 x x3 7.  x  1 x  2  0 8. x2  5 3 x 3 x 2 x4 9.  4x 10. 2 x5 x  3x  4 2 x 1 1 1 11. 1 12.   x  2 x  3 x2 x4 x 2 1 x 1 13.  14.  x 1 x  2 x3 x7 9
11. 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง 10
12. 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาเทคนิคการแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสองตัวอย่าง จงแก้อสมการ x 2  3x  2  x 2  2 x  3วิธีทา เนื่องจาก x 2  2 x  3  0 และ x 2  3x  2  x 2  2 x  3 ดังนั้น x 2  3x  2  0 นั่นคือ  x  2 x  1  0 และ  x  3 x  1  0 x  2 หรือ x  1 ..... 1 และ x  1 หรือ x  3 ..........  2  2 1 3 11
13. 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับ 1 และ  2 คือ x  2 หรือ x  3 ..........  3 จาก x2  3x  2  x2  2 x  3 และ  0 จะได้ว่า x 2  3x  2  x 2  2 x  3 5x  5 x  1 ........... 4 เนื่องจาก x ต้องสอดคล้องทั้ง  3 และ  4 จึงได้ว่า x3 #ในบางครั้ง โจทย์อสมการมีเครื่องหมาย อาจไม่จาเป็นต้องยกกาลังสองเสมอไป ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x 1  2 x 1วิธีทา ข้อสังเกต พิจารณาค่า x ซึ่ง x 1  0 เท่านั้น ดังนั้น x  1 1 จาก x 1  2 x 1 นา x 1 คูณตลอด จะได้ว่า  x  1  1  2 x 1  x  1  2 x 1 1  0   2 x 1 1  0 เนื่องจาก   มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ 2 x  1 1 ดังนั้นทุกค่า x  x  1 จะสอดคล้องกับอสมการ  x  1  1 เสมอ 2 0 เพราะฉะนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการคือ x  1 # 12
14. 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการโดยวิธีการยกกาลังสอง1. x 1  x 1 2. x2  2 x  1  13. x  2  3x  6 4. x 1  x 1 15. x2  x2 5 6.  x2 x2 27. 2x  3  x  2 8.  x 1 x 1 19. x2  8x  7  x2  8x  12 10.  x 1 2 1  x  2x2 13
15. 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร 14
16. 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเทคนิคการแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปรตัวอย่าง จงแก้อสมการ 5  x  22   2 x  3  5 x  1  2 1วิธีทา ให้ y   x  1 5 จากตัวอย่างที่ผ่านมาจะได้ว่า y2  y  2 y2  y  2  0  y  2  y  1  0 1  y  2 1 นั่นคือ 1   x  1 5  2 1 1 และ  x  15  2 1   x  1 5 1  x  1 และ x  1  25 2  x และ x  31 ดังนั้นค่า x ที่สอดคล้องกับอสมการที่โจทย์กาหนดคือ x   2,31 #ตัวอย่าง จงแก้อสมการ  x  12  3  2 x 1  3  2 x2วิธีทา เพราะว่า  x  12  3  2 x  1  x 2  4 x  4   x  2 2 ดังนั้น  x  1  3  2 x  1  3  2 x  2 2 15
17. 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย  x  2  2 x 2 3 0 2ให้ y x  2 จะได้ว่า y2  2 y  3  0  y  3 y  1  0 1  y  3นั่นคือ 1  x2 3แต่ x  2  0 เสมอ ดังนัน ้ 0 x2 3 0 x2 9 2 x  11 ..........(1)แต่ x2 0 นั่นคือ x  2 ..........(2)จาก 1 และ  2 จะได้ว่า 2  x  11 # 16
18. 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยตัวอย่าง จงแก้อสมการ 22 x 2  9  2  x  2วิธีทา 22 x 2  9  2   2 x 4  2x   9  2  2  0 2 x ให้ y  2x ดังนั้น 4 y2  9 y  2  0  4 y  1 y  2   0 1  y2 4 1 นั่นคือ  2x  2 4 22  2 x  21 2  x  1 # แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปรจงแก้อสมการ 4 1. 2x  5  2x 2. x2  4 x  4  2  x  2 3. 5 x2  4 x  4  6  5 x  2 4. 32 x 1  3  10  3x  5.  x  3  4  x  4  x  5  2 2 17
19. 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ 18
20. 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 4. การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ1. ต้องการเชิญแขกมางานเลี้ยง ไม่น้อยกว่า 500 แต่ไม่เกิน 700 คน โดยจัดเลี้ยงโต๊ะจีน โต๊ะละ 10 คน ต้อง จองโต๊ะน้อยที่สุดกี่ชุดถึงสามารถมั่นใจได้ว่าแขกทุกคนมีที่นั่ง2. สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านยาว 20 เซนติเมตร และมีพื้นที่ไม่น้อยกว่า 400 ตารางเซนติเมตร แล้วสี่เหลี่ยมมีความ กว้างน้อยที่สุดกี่เซนติเมตร 19
21. 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 20
22. 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 21
23. 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 22
24. 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน 2 41. ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือ เซตของจานวนจริง แล้วเซตคาตอบของอสมการ  3  1 คือข้อใด x x 1 1. [  , 0) 2. (0,  ) 2 1 3. ( ,  ]   0,   4.  ,3   2,   2 12. เซตคาตอบของอสมการ 2 คือเซตในข้อใด 2 x 1 1 1. ( ,  ] 2. [  , 2) 3 3 3. (,  1 ]   2,   4. ข้อ 1, 2 และ 3 ไม่มีข้อใดถูก 33. ให้ A   x | x  5  0   และ B   x | 2 x 2  10 x  5 x  27 พิจารณาข้อความต่อไปนี้  x  7 ก. A  B   0,   ข. A  B  (, )   4,   2 ข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด  2x 1 4. ให้ เป็นเซตของจานวนจริง และถ้า A  x  |  0  x  และ B   x  | 2 x 2  5 x  3  0 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก 1. A  B   ,   2. A  B  3,0 1 3. A B  4. A  B  { } 2 x 15. เซตคาตอบของอสมการ  3 x คือข้อใดต่อไปนี้ x 1.  0,3 2. 0,3 3.  0,   4.  ,0  1,   x26. เซตคาตอบของอสมการ  x เป็นสับเซตของเซตใดต่อไปนี้ x 1 1.  , 2 2.  10, 1 3.  2,1 4. 1, 7. ถ้า A คือเซตคาตอบของอสมการ 3x  5  x  7 1 1 B คือเซตคาตอบของอสมการ  x 2 23
25. 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แล้ว A  B เท่ากับช่วงในข้อใดต่อไปนี้ 1.  6,0 2. (2,  ) 3.  ,0   2,   4.  6,0   2,   2 2x 18. ให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ  แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง x2 4 5  137 5  137 ก. ( 7 , )  A ข. A  ( , ) 4 4 4 1. ก ถูก ข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด9. ให้ A   x | 22 x  2 x 1  23  0 และ  B  x | 2x  2  x  2  1  ข้อใดถูกต้อง 1. A  B 2. B A 3. A  B   4. A B   2 110. ให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ  ข้อใดต่อไปนี้ถูก x2 x 1 1. A  2. A   2,10 3. A   1, 2    2,   4. A   2,   24
26. 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 25
27. 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการในรูปเศษส่วน 111. 1  x  3 2.   x  3 33. x  2 หรือ  2  x  2 4. x   25. x  2 หรือ 0  x  1 6. x  3 หรือ 2  x  17. 1  x  2 หรือ x  3 8. x0 5  27 5  27 19.  x  5 หรือ x 10. x หรือ x  1 2 2 211. x  3 หรือ x  2 12. x  4 หรือ x  213. 2  x   2 หรือ 1  x  2 14. 7  x  4 หรือ 3  x  1 เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการโดยวิธียกกาลังสอง1. 1  x  2 2. 2  x  03. x  4 4. x  05. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ 6. 2  x  17. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ 8. 0  x  19. x  1 หรือ x  7 10. ไม่มีค่า x ที่สอดคล้องอสมการ เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การแก้อสมการโดยการแทนค่าตัวแปร1. x0 หรือ x2 2. x33. 241  x  34 4. 1  x  15. 5 x9 26
28. 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติม ่ เรื่อง การประยุกต์โจทย์การแก้อสมการ1. อย่างมาก 70 ชุด 2. อย่างน้อย 20 ซ.ม. เฉลยแบบฝึกหัดระคน1. 3 2. 4 3. 4 4. 1 5. 36. 3 7. 4 8. 2 9. 1 10. 4 27
29. 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่างสานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 28
30. 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอนเซต บทนา เรื่อง เซต ความหมายของเซต เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ การให้เหตุผล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริงจานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง สมบัติของจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏีบทตัวประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนิคการแก้อสมการ ค่าสัมบูรณ์ การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก) ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อยความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ 29
31. 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์ อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเบื้องต้น พีชคณิตของฟังก์ชัน อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันประกอบฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม เลขยกกาลัง ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม ้ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลัง อสมการลอการิทึมตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3 กฎของไซน์และโคไซน์ กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย ่ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสุดขีดลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม ลาดับ การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลิมิตของลาดับ ผลบวกย่อย อนุกรม ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม 30
32. 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง ตอนการนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น . การนับเบื้องต้น การเรียงสับเปลี่ยน การจัดหมู่ ทฤษฎีบททวินาม การทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็น 1 ความน่าจะเป็น 2สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3 การกระจายของข้อมูล การกระจายสัมบูรณ์ 1 การกระจายสัมบูรณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง กระเบื้องที่ยืดหดได้ 31

สมการและการแก้สมการ

8. ขนมตาล

นมตาลใส่ใบตองเป็นภาพที่เราคุ้นตาไปแล้ว แต่สำหรับขนมตาลสูตรจาก นิตยสาร Health & Cuisine สูตรนี้ใส่ถ้วยตะไลเล็ก ๆ กินง่ายชิ้นพอดีคำ สีเหลืองนวลสวย เนื้อเหนียวนุ่ม รสชาติหวานหอมพอเหมาะ ยิ่งโรยด้วยมะพร้าวทึนทึกก็ยิ่งอร่อยมากกว่าเดิม ไม่ว่าจะทำกิน หรือจะทำขายใช้สูตรนี้เลยค่ะ จัดไป ๆ

 ส่วนผสม ขนมตาล

 น้ำตาลทราย 400 กรัม
 กะทิ 3 ถ้วย
 เนื้อลูกตาลสุก 350 กรัม
 แป้งข้าวเจ้า 500 กรัม
 ผงฟู 1 ช้อนโต๊ะ
 มะพร้าวทึนทึกขูดเส้นเล็ก (คลุกเกลือเล็กน้อยสำหรับโรยหน้า) 2 ถ้วย

 วิธีทำขนมตาล

 1. ละลายน้ำตาลทรายในกะทิ เติมเนื้อลูกตาลลงไป คนให้เข้ากัน จากนั้นใส่แป้งและผงฟูลงไป คนจนเนียน

 2. กรองส่วนผสมด้วยผ้าขาวบาง พักไว้ประมาณ 10 นาทีให้ส่วนผสมขึ้น

 3. ระหว่างรอขนมขึ้น ใส่น้ำในลังถึง ตั้งไฟกลางเตรียมไว้ เรียงถ้วยตะไลลงในลังถึง พอส่วนผสมครบเวลา ตักส่วนผสมยอดลงในถ้วยตะไลจนเต็มถ้วย โรยด้วยมะพร้าวทึนทึก นึ่งบนน้ำเดือดประมาณ 15-20 นาที จนกระทั่งสุก ยกลงจากเตา พักให้เย็นแซะออกจากถ้วย พร้อมเสิร์ฟ

 9. ขนมฟักทอง

ขนมฟักทอง ขนมไทยยอดนิยมไม่แพ้ขนมไทยชนิดอื่น ๆ เลยค่ะ ตัวเนื้อขนมใส่ฟักทองลงไปคลุกเคล้ากับส่วนผสมอื่น ๆ จนได้ออกมาเป็นเนื้้อสีเหลืองสวย เคี้ยวหนุบหนับเพลิน ๆ สูตรนี้ไม่ต้องใส่ใบตองแต่ใช้ถ้วยตะไลแทนทำให้สะดวกรวดเร็วมากขึ้น ถ้าพร้อมแล้วมาลองทำทานกันดีกว่าค่ะ
 ส่วนผสม ขนมฟักทอง

 ฟักทอง 500 กรัม (ปอกเปลือก หั่นเป็นชิ้น ๆ)
 แป้งข้าวเจ้า 1 ถ้วย
 แป้งมันสำปะหลัง 1/4 ถ้วย
 มะพร้าวขูด 50 กรัม
 น้ำตาลทราย 1 ถ้วย
 เกลือป่น 1/2 ช้อนชา
 กะทิ 1 ถ้วย
 ถ้วยตะไล (สำหรับนึ่ง)

 วิธีทำขนมฟักทอง

 1. นำฟักทองไปนึ่งจนสุกแล้วนำออกมาพักทิ้งไว้จนเย็นสนิท

 2. ใส่แป้งข้าวเจ้าและแป้งมันสำปะหลังลงในฟักทองที่นึ่งสุกแล้ว จากนั้นนวดผสมให้เข้ากัน

 3. ใส่มะพร้าวขูด น้ำตาลทราย และเกลือป่นลงไปนวด จากนั้นค่อย ๆ เติมกะทิลงไปคนผสมจนเข้ากันดีและน้ำตาลทรายละลายหมด

 4. ตักส่วนผสมใส่ถ้วยตะไลประมาณ 3/4 ของถ้วย จากนั้นนำไปนึ่ง (ในชุดนึ่งที่มีน้ำเดือด) ประมาณ 15-20 นาที นึ่งจนแป้งสุกและใส ยกลงจากเตา พักทิ้งไว้จนเย็น

 5. แคะขนมออกจากถ้วย พร้อมเสิร์ฟ

 ดูวิธีทำเพิ่มเติมได้ที่ ขนมฟักทอง ขนมไทยสีสวยเนื้อเหนียวนุ่ม

6. วุ้นกะทิ

วุ้นกะทิ เมนูวุ้นกรอบ ๆ ทำเองง่าย ๆ ด้วยพิมพ์วุ้นซิลิโคนรูปดอกไม้ ทำสลับสีสวย ๆ ตามชอบ ทั้งสีแดง หรือสีเขียว ยิ่งเอาไปแช่เย็น ๆ กินตอนอากาศร้อน ๆ ยิ่งฟินเข้าไปใหญ่เลยค่ะ ถ้าอยากทำขายก็เพิ่มทางเลือกสำหรับลูกค้าโดยพิมพ์ซิลิโคนรูปอื่น ๆ ด้วยก็ได้นะคะ

 ส่วนผสม วุ้นกะทิ

 ผงวุ้น 1 1/2 ช้อนโต๊ะ
 น้ำเปล่า 350 มิลลิลิตร
 หัวกะทิ 2 1/2 ถ้วย
 ใบเตย หั่นเป็นท่อน 2-3 ใบ
 น้ำตาลทรายขาว 1/2 ถ้วย
 เกลือป่น 1/2 ช้อนชา

 ส่วนผสม วุ้นสี

 ผงวุ้น 1 ช้อนชา
 น้ำเปล่า
 น้ำตาลทรายขาว 1/2 ถ้วย
สีผสมอาหาร 1 ช้อนชา

 วิธีทำวุ้นกะทิ

 1. ทำวุ้นกะทิโดยใส่น้ำเปล่าลงในหม้อ นำขึ้นตั้งไฟพอร้อน ใส่ผงวุ้นลงไปคนให้ละลาย พอน้ำเดือดแล้วให้ปิดไฟ คนต่อไปเรื่อย ๆ จนผงวุ้นละลายหมด

 2. ใส่ใบเตยลงไป คอยกวนไปเรื่อย ๆ ให้พอมีกลิ่นใบเตย ตามด้วยน้ำตาลทรายขาว คนจนน้ำตาลทรายละลายและส่วนผสมเดือด เทหัวกะทิใส่ลงไป คนผสมให้เข้ากันพอเดือดเล็กน้อย ปิดไฟ ยกลงจากเตา

3. หยอดส่วนผสมวุ้นลงในพิมพ์ซิลิโคนประมาณ 1/2 พิมพ์ พักทิ้งไว้จนเซตตัว

 4. ทำวุ้นสีโดยใส่น้ำเปล่าและผงวุ้นลงในหม้อ นำขึ้นตั้งไฟคนให้ละลาย ใส่ใบเตยลงไป ตามด้วยน้ำตาลทรายขาว คนผสมจนน้ำตาลทรายละลายและมีกลิ่นใบเตย จากนั้นช้อนตักใบเตยทิ้ง

 5. ใส่สีผสมอาหารลงไป คนผสมให้เข้ากัน พอเดือดแล้วปิดไฟยกลงจากเตา นำไปหยอดลงบนวุ้นกะทิที่เซตตัวแล้วประมาณ 1 ช้อนโต๊ะ พักทิ้งไว้จนคลายความร้อน นำไปแช่เย็นก่อนเสิร์ฟ

 ดูวิธีทำเพิ่มเติมได้ที่ วุ้นกะทิ ขนมไทยง่าย ๆ กินตอนไหนก็ใช่

 5. ขนมใส่ไส้

ขนมใส่ไส้ หรือขนมสอดไส้ เมนูขนมหวานสุดอร่อย ใส่ไส้หน้ากระฉีก สูตรนี้นำเสนอแบบห่อใบตอง และไม่ห่อใบตองด้วย เลือกเอาแบบที่ชอบ จะทำกินเอง หรือทำขายก็ได้ เพราะต้นทุนไม่สูงมาก

 ส่วนผสม ขนมใส่ไส้

 มะพร้าวขูดขาว 2 1/2 ถ้วย
 น้ำตาลมะพร้าว 1 1/2 ถ้วย
 น้ำต้มสุก
 เทียนอบ (สำหรับอบควันเทียน) ใช้หรือไม่ใช้ก็ได้ตามความสะดวก
 แป้งข้าวเหนียว 2 ถ้วย
 น้ำเย็น 1/3 ถ้วย (หรือน้ำใบเตย, น้ำอัญชันแช่เย็น หากต้องการเพิ่มสีสัน)
 แป้งข้าวเจ้า 1/3 ถ้วย
 เกลือป่น 2 ช้อนชา
 หัวกะทิ 3 1/3 ถ้วย

เตรียมใบตองตัดเป็น 2 ขนาด แผ่นใหญ่ขนาดประมาณ 5X9 เซนติเมตร และแผ่นเล็กขนาดประมาณ 4X6 เซนติเมตร แล้วตัดหัว-ท้ายเป็นสามเหลี่ยม เช็ดให้สะอาดทั้ง 2 ด้าน นำไปตากแดดทิ้งไว้สักครู่ (เพื่อไม่ให้ใบตองแตกขณะห่อขนม)

 วิธีทำหน้ากระฉีก (ส่วนผสมไส้)

 1. กวนมะพร้าวขูดกับน้ำตาลมะพร้าว และน้ำต้มสุกในกระทะด้วยไฟอ่อน ๆ จนส่วนผสมเหนียวและแห้ง ยกลงจากเตา พักทิ้งไว้จนเย็นสนิท

 2. พอส่วนผสมเย็นสนิทแล้วปั้นเป็นก้อนกลม ๆ ประมาณ 1 นิ้วใส่ในภาชนะที่มีฝาปิด

 3. นำส่วนผสมไส้ไปอบด้วยควันเทียน เตรียมไว้

 วิธีทำแป้ง

 นวดแป้งข้าวเหนียวกับน้ำเย็นจนพอปั้นได้ จากนั้นปั้นเป็นก้อนกลมขนาดเดียวกับหน้ากระฉีก เตรียมไว้

 วิธีทำส่วนผสมหน้าขนม

ผสมแป้งข้าวเจ้า เกลือป่น และกะทิคนให้ละลายเข้าด้วยกัน เทใส่ในกระทะทองเหลือง (หรือกระทะเทฟลอน) ใช้ไฟปานกลางกวนจนข้นและเดือดทั่ว ยกลงจากเตา เตรียมไว้

 วิธีทำขนมใส่ไส้แบบห่อใบตอง

 1. แผ่แป้งข้าวเหนียวที่ปั้นไว้เป็นแผ่นบาง ๆ (กะให้พอหุ้มไส้ได้มิด) จากนั้นหยิบไส้กระฉีกวางลงไปตรงกลางแล้วหุ้มแป้งให้มิด วางขนมลงบนใบตองที่ซ้อนกัน

 2. หงายใบตองแผ่นใหญ่ขึ้น (ด้านนวล) แล้ววางทับด้วยใบตองแผ่นเล็ก วางไส้ขนมลงไป จากนั้นตักหน้าขนมประมาณ 1/2 ช้อนชา ใส่ด้านบนไส้

 3. ห่อใบตองเป็นทรงสูง ใช้ใบมะพร้าวที่เตรียมไว้คาดและกลัดด้วยไม้กลัดให้เรียบร้อย ตัดปลายเตี่ยวให้เฉียงและยาวพองาม วางเรียงห่อขนมลงในชุดนึ่ง

 4. นำขนมไปนึ่งในชุดนึ่งที่มีน้ำเดือดพล่านประมาณ 10 นาที ยกลงจากเตา

วิธีทำขนมใส่ไส้สูตรประยุกต์

 1. ตักส่วนผสมหน้ากะทิใส่ลงในถ้วยขนาดเล็ก (หรือพิมพ์พลาสติก) ประมาณ 1/2 ของพิมพ์ เตรียมไว้

 2. แผ่แป้งข้าวเหนียวที่ปั้นไว้เป็นแผ่นบาง ๆ (กะให้พอหุ้มไส้ได้มิด) จากนั้นหยิบไส้กระฉีกวางลงไปตรงกลางแล้วหุ้มแป้งให้มิด จากนั้นนำไปต้มในน้ำเดือดจนลอยขึ้นมา ตักขึ้นใส่จาน เตรียมไว้

 3. ค่อย ๆ นำส่วนผสมไส้วางลงในพิมพ์อย่างเบามือให้สวยงาม พร้อมเสิร์ฟ

 ดูวิธีทำเพิ่มเติมได้ที่ ขนมใส่ไส้ ขนมไทยสุดคลาสสิก เนื้อเนียนไส้นุ่มละมุนทุกสัมผัส

 3. ขนมครก

ถ้าหากวันว่าง ๆ ไม่มีอะไรทำลองชวนแฟนมานั่งแคะขนมครกเป็นกิจกรรมสนุก ๆ กันดีไหม ขอแนะนำขนมครกสูตรจาก คุณเนินน้ำ สูตรนี้ใส่ไส้รวมมิตรด้วยนะ ใส่ทั้งเผือก ข้าวโพด และต้นหอม กินให้จุใจไปเลยจ้า

 ส่วนผสม แป้งขนมครก

 แป้งข้าวเจ้า 1 1/4 ถ้วย
 ข้าวสุก 1/3 ถ้วย
 น้ำตาลทราย 1/8 ถ้วย
 เกลือสมุทร 1 ช้อนชา
 น้ำปูนใส 1/4 ถ้วย
 หัวกะทิ 1 ถ้วย
 หางกะทิ 1/2 ถ้วย

 ส่วนผสม หน้ากะทิ

 หัวกะทิ 3/4 ถ้วย
 น้ำตาลทราย 1/8 ถ้วย
 เกลือสมุทร 1/4 ช้อนชา
 แป้งข้าวเจ้า 1/2 ช้อนโต๊ะ

 ส่วนผสม หน้าขนมครก

 ต้นหอมซอย
 เผือกหั่นเต๋าเล็ก ๆ
 เม็ดข้าวโพด
 น้ำมันพืชสำหรับทาเบ้าขนมครก

 วิธีทำแป้งขนมครก

 นำส่วนผสมตัวแป้ง ทั้งแป้งข้าวเจ้า ข้าวสุก น้ำตาลทราย เกลือสมุทร น้ำปูนใส หัวกะทิ และหางกะทิ ไปปั่นด้วยเครื่องปั่นจนละเอียดเข้ากันเป็นเนื้อเดียว เทใส่ภาชนะแล้ววางพักทิ้งไว้ประมาณ 15-20 นาที

 วิธีทำหน้ากะทิ

 ผสมหัวกะทิ น้ำตาลทราย และเกลือสมุทรเข้าด้วยกัน คนผสมจนน้ำตาลทรายละลายแล้วค่อย ๆ ใส่แป้งข้าวเจ้าลงไป คนผสมให้ละลายเข้ากันดี เตรียมไว้

 วิธีทำขนมครก

 1. นำเบ้าขนมครกขึ้นตั้งใฟให้ร้อน ใช้ไฟปานกลาง ทาน้ำมันให้ทั่วหลุมแล้วตักแป้งหยอดลงไปประมาณ 3/4 ของหลุม

 2. พอแป้งเริ่มเซตตัว ตักส่วนผสมหน้ากะทิหยอดทับลงไปให้เต็ม ปิดฝาขนมครก

 3. พอขนมเริ่มสุก เปิดฝาโรยหน้าด้วยเผือก ข้าวโพด และต้นหอมซอย เมื่อขนมสุกใช้ช้อนแคะขนมออกจากเบ้า จัดใส่จาน พร้อมเสิร์ฟ

 ดูวิธีทำเพิ่มเติมได้ที่ ขนมชั้นดอกกุหลาบ ขนมไทยใส่ไอเดีย เมนูล้ำค่าหนึ่งเดียวในปฐพี

 2. ขนมชั้นใบเตย

เคยไหม ? ซื้อขนมชั้นใบเตยกินแล้วรสชาติจืดชืด ไม่หอมหวานมัน แทบอยากเขวี้ยงทิ้งแต่แอบเสียดายสตางค์เลยต้องจำทนฝืนกิน แต่ถ้าหากได้ลองมาทำขนมชั้นใบเตย สูตรจาก คุณ RinS Cook Book สมาชิกเว็บไซต์ยูทูบดอทคอม จะเจอเนื้อคู่ ไม่ใช่ ๆ จะเจอรสชาติที่ถูกปากในบัดดล เนื้อเหนียวนุ่ม รสชาติหวานหอมกลิ่นใบเตย หั่นเป็นชิ้นสี่เหลี่ยมพอดีคำ จับใส่ปากตัวเอง หรือคนข้าง ๆ ได้เลย ถ้าจะทำขายก็เอาใส่ถุงพลาสติก หรือใส่กล่องพลาสติกให้สวยงาม รับรองว่า หน้าตาดีนี้และรสชาติอร่อยขนาด ลูกค้าจะไหลมาเทมาเชียวค่ะ

 ส่วนผสม ขนมชั้นใบเตย

 น้ำตาลทราย 2 1/2 ถ้วย
 กะทิ 4 ถ้วย
 แป้งข้าวเจ้า 1/2 ถ้วย
 แป้งมันสำปะหลัง 1/2 ถ้วย
 แป้งท้าวยายม่อม 1 1/2 ถ้วย (หรือแป้งถั่วเขียว)
 น้ำใบเตยคั้นเข้มข้น 1/2 ถ้วย
 น้ำหอมกลิ่นมะลิผสมน้ำ 1/2 ถ้วย
 ถาดหรือพิมพ์สี่เหลี่ยมสำหรับนึ่งขนม (ขนาด 10x10 นิ้ว หรือ 8x8 นิ้ว)

 วิธีทำขนมชั้นใบเตย

 1. ใส่น้ำตาลทรายและกะทิลงในหม้อ คนผสมให้เข้ากันแล้วนำขึ้นตั้งไฟปานกลางประมาณ 5 นาที จนน้ำตาลทรายละลาย (ไม่ต้องรอให้เดือด) ยกลงจากเตา พักทิ้งไว้จนเย็น

 2. นึ่งถาดหรือพิมพ์ในชุดนึ่งที่มีน้ำเดือด ประมาณ 15 นาที เตรียมไว้

 3. ผสมแป้งข้าวเจ้า แป้งมันสำปะหลัง และแป้งท้าวยายม่อมเข้าด้วยกัน ค่อย ๆ เทส่วนผสมน้ำกะทิลงไป ใช้มือนวดแป้งให้เข้ากันเป็นเนื้อเดียว นวดประมาณ 15 นาที จนแป้งไม่จับตัวเป็นก้อน จากนั้นนำไปกรองด้วยตะแกรง

4. แบ่งแป้งเป็น 2 ถ้วย โดยถ้วยที่ 1 ผสมกับน้ำใบเตย และถ้วยที่ 2 ผสมกับน้ำมะลิ คนผสมให้เข้ากัน เตรียมไว้

 5. ทำชั้นที่ 1 โดยเทส่วนผสมสีขาว (เทส่วนผสมทุกชั้นประมาณ 1/3 ถ้วย) ลงในพิมพ์ ปิดฝา นึ่งประมาณ 5 นาที เปิดฝา เทส่วนผสมสีเขียวลงไป ปิดฝา นึ่งประมาณ 5 นาที ทำซ้ำเช่นเดิม สลับชั้นกันจนหมดแป้ง จะได้ประมาณ 9-10 ชั้น โดยชั้นสุดท้าย ให้นึ่งประมาณ 7 นาที ยกออกจากชุดนึ่ง วางพักทิ้งไว้จนเย็นสนิท (ประมาณ 3 ชั่วโมง)

 6. นำขนมออกจากถาด จุ่มมีดลงในน้ำร้อน กดลงบนขนมเป็นชิ้น ๆ จัดใส่จาน พร้อมเสิร์ฟ

 ดูวิธีทำเพิ่มเติมได้ที่ ขนมชั้นใบเตย ขนมไทยสีสันสดใส เนื้อเหนียวนุ่ม